Isométrie vectoriel

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel muni d'un produit scalire $\scal{}{}$, on dit que $u\in \mathscr{L} (E)$ est une isométrie vectoriel ssi $$ \forall x,y\in E,\quad \scal{u(x)}{u(y)}=\scal{x}{y}.$$ Si on note $\Omega $ la matrice de $u$ dans une b.o.d de $E$, alors on a $\Omega {\,}^t\Omega = I_n$.
Dans le cas ou $E$ est de dimension $3$, on sait caractériser une isométrie vectoriel.

1. Si $\det (u)=1$, alors $u$ est une rotation, dont les éléments 'géométriques': Axe de la rotation et l'angle de la rotation.
   1. L'axe de la rotation (éléments stable par $u$), qu'on note $D=\mathrm{Vect} (I)$ (avec $I$ vecteur normé).
   2. L'angle de la rotation $\theta$ est déterminé par :
      • $\mathrm{tr}(u)=1+2\cos(\theta)$
      • le signe de $\sin(\theta)$ est le même que le signe de $\det(x, f (x), I)$ pour n’importe quel $x$ non colinéaire à I.
2. Sinon ($\det(u)=-1$), alors
   • Soit $u$ est une réflexion par rapport au plan $P=\{x\in E,\,u(x)=x\}$.
   • Soit $u$ est la composée d’une rotation d’axe $D$ et d’angle $\theta$ et d’une réflexion par rapport au plan $P$ orthogonale à l’axe $D$.
     Avec $D=\{x\in E,\,u(x)=-x\}=\mathrm{Vect}(I)$, et $\theta$ vérifie:
     • $\mathrm{tr}(u)=-1+2\cos(\theta)$
     • le signe de $\sin(\theta)$ est le même que $\det(x, f (x), I)$ pour n’importe quel $x$ t.q $x \not\in D$.

L'animation ci-après montre l'image d'un objet (une vase!) par une isométrie vectoriel, vous pouvez changer l'axe de la roation (il faut donner le vacteur $I$ sous la forme $I=[a,b,c]$) mais vous pouvez également changer l'angle de la rotation (donner l'angle en degré).
Vous pouvez faire aussi la même animation pour la composée d'une rotation et d'une réflexion (donc vous donner un vecteur $I$ tel que $u(I)=-I$ et un angle).
Enfin, si vous souhaitez voir le résultat d'une réflexion par rappor au plan $P$, il suffit de rentrer un vecteur $I$ normal au plan $P$.

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