Programme de colle

I. Déterminant

1. Définition de l'application $\det$ sur $\MM_n(\K)$, propriétés.
   1. Si on échange deux colonnes de $A$ alors le déterminant est multiplié par $-1$.($\star$)
   2. On ne change le déterminant d'une matrice si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.($\star$)
   3. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est le produit des ses coefficient diagonaux.($\star$)
2. Définition de déterminant d'un endomorphisme $f\in \LL(E)$ ($E$ est un $\K$-e v de dim finie)
3. Calculs du déterminant: développement selon une ligne ou une colonne + coût de calculs.
4. Calcul du déterminant pour une matrice triangulaire supérieur par bloc (resp. triangulaire inférieur, diagonale par blocs).
5. Déterminant de Vandermonde ($\star$).
6. Formule de Cramer + coût de calculs.

II. Séries entières

1. Définition d'une série entière, définition de la rayon de convergence (existence et unicité $\star$)
2. Détermination du rayon de convergence, règle de D'Alembert ($\star$)
3. Fonction définie par une série entière, convergence simple sur $B(0,R)$ et convergence normal sur tout fermé borné inclus dans $B(0,R)$.
4. Opérations: somme, produit de Cauchy. Relations entre les rayons de convergence.
5. Séries entière de la variable réelle : Propriétés de la fonction somme définie sur $]-R,R[$, intégration terme à terme($\star$), dérivation terme à terme ($\star$), unicité de coefficients.
6. Développements en séries entières: Définition d'une fonction développable en SE, série de Taylor ( en 0) d'une fonction de classe $\CC^\infty$, CNS pour que la série de Taylor de $f$ coïncide avec $f$.
7. Soit $f$ DSE en 0, si $f$ est paire (resp. impair) alors $a_{2n+1}=0$ (resp. $a_{2n}=0$) ($\star$).
8. DSE des fonctions usuelles ($\star$)

I. Calucls matricielles

1. Les bases de 1ère année (définitions, calculer l'inverse d'une matrice, matrice d'une application linéaire, matrice de passage, ...) 🌦 en particulière savoir la signification de mot rang d'une matrice 🌡 mais aussi si $A\in \MM_n(\K)$ de rang 1 alors $A$ est le produit de ....
2. Définition de trace d'une matrice (resp. application linéaire), propriétés ($\star$). Savoir montrer que $\tr$ est une forme linéaire, $\tr(AB)=\tr(BA)$, deux matrices semblables ont la même trace ...
3. Matrices par blocs, opérations matricielles par blocs.
4. Polynôme d'une matrice (resp. endomorphisme), polynôme annulateur (Existence $\star$). La notion du polynôme minimale est hors programme!!!!

II. Déterminant

1. Définition de l'application $\det$ sur $\MM_n(\K)$, propriétés.
   1. Si on échange deux colonnes de $A$ alors le déterminant est multiplié par $-1$.($\star$)
   2. On ne change le déterminant d'une matrice si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.($\star$)
   3. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est le produit des ses coefficient diagonaux.($\star$)
2. Définition de déterminant d'un endomorphisme $f\in \LL(E)$ ($E$ est un $\K$-e v de dim finie)
3. Calculs du déterminant: développement selon une ligne ou une colonne + coût de calculs.
4. Calcul du déterminant pour une matrice triangulaire supérieur par bloc (resp. triangulaire inférieur, diagonale par blocs).
5. Déterminant de Vandermonde ($\star$).
6. Formule de Cramer + coût de calculs.

I. Suites et séries de fonctions

$I$ est un intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un points.

1. Suites de fonctions :
   1. Définition de la convergence simple, uniforme, uniforme locale pour une suite de fonction $f_n:I\longmapsto \K$. Exemples et contre exemples.
   2. Continuité de la limites d'une suite $f_n$ qui CU vers $f$ avec les fonctions $f_n$ continues.
   3. Interversion limite-intégrale sur un segment ($\star$).
   4. Dérivation d'une suite de fonctions ($\star$).
2. Séries de fonctions :
   1. Convergence simple, uniforme, uniforme locale et convergence en norme.
   2. Propriétés de la somme d'une série de fonction : Continuité, dérivabilité et intégration sur un segment.

II. Calucls matricielles

1. Les bases de 1ère année (définitions, calculer l'inverse d'une matrice, matrice d'une application linéaire, matrice de passage, ...) 🌦 en particulière savoir la signification de mot rang d'une matrice 🌡 mais aussi si $A\in \MM_n(\K)$ de rang 1 alors $A$ est le produit de ....
2. Définition de trace d'une matrice (resp. application linéaire), propriétés ($\star$). Savoir montrer que $\tr$ est une forme linéaire, $\tr(AB)=\tr(BA)$, deux matrices semblables ont la même trace ...
3. Matrices par blocs, opérations matricielles par blocs.
4. Polynôme d'une matrice (resp. endomorphisme), polynôme annulateur (Existence $\star$). La notion du polynôme minimale est hors programme!!!!

I. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

II. Suites et séries de fonctions

$I$ est un intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un points.

1. Suites de fonctions :
   1. Définition de la convergence simple, uniforme, uniforme locale pour une suite de fonction $f_n:I\longmapsto \K$. Exemples et contre exemples.
   2. Continuité de la limites d'une suite $f_n$ qui CU vers $f$ avec les fonctions $f_n$ continues.
   3. Interversion limite-intégrale sur un segment ($\star$).
   4. Dérivation d'une suite de fonctions ($\star$).
2. Séries de fonctions :
   1. Convergence simple, uniforme, uniforme locale et convergence en norme.
   2. Propriétés de la somme d'une série de fonction : Continuité, dérivabilité et intégration sur un segment.

I. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 1,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

II. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

I. Séries numériques

1. Rappels de cours de 1^èreannée sur les séries numériques:
   1. Définition d'une série, convergence, reste d'ordre $n$.
   2. Série classiques: $\dsum q^n$, séries télescopiques.
   3. Série réelles à termes positifs: Critères de comparaisons, règle de D'Alembert.
2. Série alternés: Définition, critère spécial des séries alternées ($\star$).
3. Comparaison série-intégrale: Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle de la forme $[n_0,+\infty[$ ($n_0\in\N$), à valeurs réelles positives et décroissante. Alors : $$\text{la série }\sum f(n) \text{ converge ssi } \dsp \int_{n_0}^{+\infty}f \text{ existe}\quad (\star)$$ et/ou la version suivante: $$ \text{ la série de terme générale } \dsp\int_n^{n+1}f(t)\ud t -f(n+1) \text{ est convergente}.\quad (\star)$$
4. Formule de Stirling.
5. Définition de produit de Cauchy de deux séries. Application: définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. $$\forall z_1,z_2\in \C,\quad \exp (z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\quad\quad (\star).$$

II. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 0,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

I. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.
6. Hyperplan, formes linéaires, définition de $E^*$. $H$ est un hyperplan de $E$ ssi il existe $\varphi\in E^*$ non nul t.q $H=\Ker(\varphi)$. ($\star$)

II. Séries numériques

1. Rappels de cours de 1^èreannée sur les séries numériques:
   1. Définition d'une série, convergence, reste d'ordre $n$.
   2. Série classiques: $\dsum q^n$, séries télescopiques.
   3. Série réelles à termes positifs: Critères de comparaisons, règle de D'Alembert.
2. Série alternés: Définition, critère spécial des séries alternées ($\star$).
3. Comparaison série-intégrale: Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle de la forme $[n_0,+\infty[$ ($n_0\in\N$), à valeurs réelles positives et décroissante. Alors : $$\text{la série }\sum f(n) \text{ converge ssi } \dsp \int_{n_0}^{+\infty}f \text{ existe}\quad (\star)$$ et/ou la version suivante: $$ \text{ la série de terme générale } \dsp\int_n^{n+1}f(t)\ud t -f(n+1) \text{ est convergente}.\quad (\star)$$
4. Formule de Stirling.
5. Définition de produit de Cauchy de deux séries. Application: définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. $$\forall z_1,z_2\in \C,\quad \exp (z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\quad\quad (\star).$$

I. Espaces vectoriels

$E$ est un $\K$ -e-v ($\K=\R$ ou $\C$).

1. Définition d'un sous espace vectoriel $F$ de $E$.
   Savoir montrer qu'un ensemble est un s-e-v .... ou pas!
2. Intersection des s-e-v, somme des s-e-v, somme directe, s-e-v supplémentaires.
3. Famille génératrice, libre, liée, base.
4. Espace vectoriel de dimension finie, base d'un e-v. Théorème de la base incomplète.
   Savoir donner la dimension pour des s-e-v 'classiques' ainsi qu'une base
5. S-e-v d'un espace vectoriel de dimension finie. Formule de Grassmann.
6. Rang d'une famille de vecteurs de $E$.

II. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.
6. Hyperplan, formes linéaires, définition de $E^*$. $H$ est un hyperplan de $E$ ssi il existe $\varphi\in E^*$ non nul t.q $H=\Ker(\varphi)$. ($\star$)

I. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $x\longmapsto\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

II. Espaces vectoriels

$E$ est un $\K$ -e-v ($\K=\R$ ou $\C$).

1. Définition d'un sous espace vectoriel $F$ de $E$.
   Savoir montrer qu'un ensemble est un s-e-v .... ou pas!
2. Intersection des s-e-v, somme des s-e-v, somme directe, s-e-v supplémentaires.
3. Famille génératrice, libre, liée, base.
4. Espace vectoriel de dimension finie, base d'un e-v. Théorème de la base incomplète.
   Savoir donner la dimension pour des s-e-v 'classiques' ainsi qu'une base
5. S-e-v d'un espace vectoriel de dimension finie. Formule de Grassmann.
6. Rang d'une famille de vecteurs de $E$.

I. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

II. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $x\longmapsto\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

I. Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   Savoir montrer qu'une boule ouvert/fermé est un ensemble convexe
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   Savoir montrer que si $C$ est convexe alors $\overset{\circ}{C},\, \overline{C}$ le sont également (voir cours)
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .