Programme de colle

I. Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   Savoir montrer qu'une boule ouvert/fermé est un ensemble convexe
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   Savoir montrer que si $C$ est convexe alors $\overset{\circ}{C},\, \overline{C}$ le sont également (voir cours)
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

I. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

II. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $x\longmapsto\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

I. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $x\longmapsto\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

II. Espaces vectoriels

$E$ est un $\K$ -e-v ($\K=\R$ ou $\C$).

1. Définition d'un sous espace vectoriel $F$ de $E$.
   Savoir montrer qu'un ensemble est un s-e-v .... ou pas!
2. Intersection des s-e-v, somme des s-e-v, somme directe, s-e-v supplémentaires.
3. Famille génératrice, libre, liée, base.
4. Espace vectoriel de dimension finie, base d'un e-v. Théorème de la base incomplète.
   Savoir donner la dimension pour des s-e-v 'classiques' ainsi qu'une base
5. S-e-v d'un espace vectoriel de dimension finie. Formule de Grassmann.
6. Rang d'une famille de vecteurs de $E$.

I. Espaces vectoriels

$E$ est un $\K$ -e-v ($\K=\R$ ou $\C$).

1. Définition d'un sous espace vectoriel $F$ de $E$.
   Savoir montrer qu'un ensemble est un s-e-v .... ou pas!
2. Intersection des s-e-v, somme des s-e-v, somme directe, s-e-v supplémentaires.
3. Famille génératrice, libre, liée, base.
4. Espace vectoriel de dimension finie, base d'un e-v. Théorème de la base incomplète.
   Savoir donner la dimension pour des s-e-v 'classiques' ainsi qu'une base
5. S-e-v d'un espace vectoriel de dimension finie. Formule de Grassmann.
6. Rang d'une famille de vecteurs de $E$.

II. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.
6. Hyperplan, formes linéaires, définition de $E^*$. $H$ est un hyperplan de $E$ ssi il existe $\varphi\in E^*$ non nul t.q $H=\Ker(\varphi)$. ($\star$)

I. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.
6. Hyperplan, formes linéaires, définition de $E^*$. $H$ est un hyperplan de $E$ ssi il existe $\varphi\in E^*$ non nul t.q $H=\Ker(\varphi)$. ($\star$)

II. Séries numériques

1. Rappels de cours de 1^èreannée sur les séries numériques:
   1. Définition d'une série, convergence, reste d'ordre $n$.
   2. Série classiques: $\dsum q^n$, séries télescopiques.
   3. Série réelles à termes positifs: Critères de comparaisons, règle de D'Alembert.
2. Série alternés: Définition, critère spécial des séries alternées ($\star$).
3. Comparaison série-intégrale: Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle de la forme $[n_0,+\infty[$ ($n_0\in\N$), à valeurs réelles positives et décroissante. Alors : $$\text{la série }\sum f(n) \text{ converge ssi } \dsp \int_{n_0}^{+\infty}f \text{ existe}\quad (\star)$$ et/ou la version suivante: $$ \text{ la série de terme générale } \dsp\int_n^{n+1}f(t)\ud t -f(n+1) \text{ est convergente}.\quad (\star)$$
4. Formule de Stirling.
5. Définition de produit de Cauchy de deux séries. Application: définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. $$\forall z_1,z_2\in \C,\quad \exp (z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\quad\quad (\star).$$