Programme de colle

Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

I. Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   Savoir montrer qu'une boule ouvert/fermé est un ensemble convexe
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   Savoir montrer que si $C$ est convexe alors $\overset{\circ}{C},\, \overline{C}$ le sont également
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

I. Révision du programme de 1^ère année

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

III. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite ($\star$)
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

I. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite.
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

II. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

III. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

I. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

II. Séries numériques

1. Rappels de cours de 1^èreannée sur les séries numériques:
   1. Définition d'une série, convergence, reste d'ordre $n$.
   2. Série classiques: $\dsum q^n$, séries télescopiques.
   3. Série réelles à termes positifs: Critères de comparaisons, règle de D'Alembert.
2. Série alternés: Définition, critère spécial des séries alternées ($\star$).
3. Comparaison série-intégrale: Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle de la forme $[n_0,+\infty[$ ($n_0\in\N$), à valeurs réelles positives et décroissante. Alors : $$\text{la série }\sum f(n) \text{ converge ssi } \dsp \int_{n_0}^{+\infty}f \text{ existe}\quad (\star)$$ et/ou la version suivante: $$ \text{ la série de terme générale } \dsp\int_n^{n+1}f(t)\ud t -f(n+1) \text{ est convergente}.\quad (\star)$$
4. Formule de Stirling.
5. Définition de produit de Cauchy de deux séries. Application: définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. $$\forall z_1,z_2\in \C,\quad \exp (z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\quad\quad (\star).$$

I. Séries numériques

tous sur les séries numériques (voir aussi programme de colle semaine 5)

II. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.

I. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.

II. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 0,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

I. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 0,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

II. Calucls matricielles

1. Les bases de 1ère année (définitions, calculer l'inverse d'une matrice, matrice d'une application linéaire, matrice de passage, ...) 🌦 en particulière savoir la signification de mot rang d'une matrice 🌡 mais aussi si $A\in \MM_n(\K)$ de rang 1 alors $A$ est le produit de ....
2. Définition de trace d'une matrice (resp. application linéaire), propriétés ($\star$). Savoir montrer que $\tr$ est une forme linéaire, $\tr(AB)=\tr(BA)$, deux matrices semblables ont la même trace ...
3. Matrices par blocs, opérations matricielles par blocs.
4. Polynôme d'une matrice (resp. endomorphisme), polynôme annulateur (Existence $\star$). La notion du polynôme minimale est hors programme!!!!