Etude locale des fonctions

Limites

Définitions

Soit $A$ une partie de $D$, et $a\in\overline{A}\,$. On dit que $f$ admet une limite en $a$ selon $A$ ssi il existe $\ell\in F$ tel que $$ \forall \eps >0,\ \exists \alpha>0, \forall x \in A, \ \norme{x-a}_E < \alpha \Longrightarrow \norme{f(x)-\ell}_F < \eps.$$

Remarque

La définition ci-dessus peut aussi s'écrire $$\forall \eps >0,\ \exists \alpha>0 \text{ tq } \forall x \in A, \ x\in B(a,\alpha)\Longrightarrow f(x) \in B(\ell,\eps)$$ ou encore, puisque toute boule ouverte de centre $x$ est un voisinage de $x$ et que tout voisinage de $x$ contient une boule ouverte de centre $x$ : $$\forall V \in \mathscr{V}(\ell),\ \exists U\in \mathscr{V}(a) \text{ tq } f(U\cap A)\subset V$$ L'avantage de cette écriture est qu'elle peut s'adapter aux cas $a=+\infty$ lorsque $E=\R$ et $D=\N$ (cas des suites), $a=\pm\infty$ lorsque $E=\R$ et $\ell=\pm \infty$ lorsque $F=\R$.

Si $f$ admet une limite en $a$ selon $A$, le vecteur $\ell$ de la définition est unique .
On note alors $\boxed{\ell=\dsp\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)}.$

Démonstration :

Supposons qu'il existe $\ell_1,\ell_2 \in F$ vérifiant la définition, avec $\ell_1\neq \ell_2$. On peut alors trouver $V_1\in \mathscr{V}(\ell_1)$ et $V_2\in \mathscr{V}(\ell_2)$ tels que $V_1\cap V_2=\emptyset$ (prendre par exemple pour $V_1$ la boule ouverte de centre $\ell_1$ et de rayon $\dfrac{\norme{\ell_1-\ell_2}}{2}$ et pour $V_2$ la boule ouverte de centre $\ell_2$ et de même rayon ). On aurait alors, en appliquant la définition: $$\exists U_1 \in \mathscr{V}(a) \text{ tq } f(U_1\cap A)\subset V_1,$$ $$\exists U_2 \in \mathscr{V}(a) \text{ tq } f(U_2\cap A)\subset V_2$$ Or $a$ appartient à l'adhérence de $A$, et $U_1\cap U_2$ est encore un voisinage de $a$, donc $U_1\cap U_2\cap A \neq \emptyset$, et $$\begin{array}{lcl} f(\underbrace{U_1\cap U_2 \cap A}_{\neq \emptyset})&=&f\big( (U_1\cap A) \cap (U_2 \cap A) \big) \\ &\subset& f(U_1\cap A) \cap f(U_2 \cap A)\subset V_1\cap V_2 = \emptyset \end{array}$$ d'où la contradiction.

Remarques

  • Si $A=D$, $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)$ se note simplement $\dsp\lim_{x \to a}f(x)$.
  • Si $A=D$ et si $a\in D$: si $\dsp\lim_{x \to a}f(x)$ existe, ça ne peut être que $f(a)$.
  • Si $A=D\setminus\{a\}$ (c'est le cas le plus courant), la limite, si elle existe, est notée $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\neq a}}f(x)$.

Exemple

Soit $D=\{(x,y)\in \R^2,\,x>0, y>0\}$, $A=\{(x,x),\,x>0\}$, $a=(0,0)$ et $f:D\longmapsto\R$ définie par $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$.
Alors, pour tout $z=(x,x)\in A$, on a $$f(z)=f(x,x)=\dfrac{x^2}{x^2+x^2}=\dfrac{1}{2}$$ On en déduit que $$\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)=\dfrac{1}{2}.$$

Si $f$ admet une limite en $a$ selon $A$, alors $f$ est bornée sur $A$ au voisinage de $a$ , c'est-à-dire : $$\exists M\in\R_+^*,\,\, \exists U\in\mathscr{V } (a)\text{ tels que~}\forall x\in U\cap A,\,\, \norme{f(x)}_F\leq M.$$

Démonstration

Si on applique la définition de la limite avec, par exemple, $\eps=1$, on obtient $$\exists \alpha>0 \text{ tq } \forall x \in A, \ \norme{x-a}_E > \alpha \Longrightarrow \norme{f(x)}_F \leq \norme{\ell}_F+1$$ ce qui est le résultat voulu avec $U=B(a,\alpha)$.

Remarque

Dans le cas particulier des suites, on retrouve ici le résultat: toute suite convergente est bornée.

Soient $A$ une partie de $D$ et $B$ une partie de $A$. Soit enfin $a\in\overline{B}$.
Si $f$ admet une limite en $a$ selon $A$, alors $f$ admet une limite en $a$ selon $B$, et c'est la même.

Démonstration :

C'est immédiat avec la définition : la propriété $\norme{x-a}_E<\alpha \Longrightarrow \norme{f(x)-\ell}_F < \eps$ étant vérifiée pour $x\in A$, elle l'est a fortiori pour $x\in B$! (remarquer aussi que $B\subset A \Rightarrow \overline{B}\subset \overline{A}$ donc $a\in \overline{B} \Rightarrow a \in \overline{A}$).

Remarque

Dans le cas $E=\R$, on retrouve le fait que, si $f$ est définie au voisinage de $a$ et admet une limite en $a$, alors elle y admet la même limite à droite et à gauche.

Soient $A$ et $B$ deux parties de $D$, et $a\in\overline{A}\cap\overline{B}$.
Alors $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ selon $A\cup B$ ssi $f$ admet $\ell$ pour limite en$a$ selon $A$ et pour limite en $a$ selon $B$.

Démonstration :

Le sens $\Rightarrow$ découle de la proposition précédente, puisque $A\subset A\cup B$ et $B\subset A\cup B$.

Réciproquement, supposons que $f$ admet $\ell$ pour limite en~$a$ selon~$A$ et pour limite en $a$ selon~$B$. Alors, si $\eps>0$ est donné, on aura par définition: $$\exists \alpha>0 \text{ tq } \forall x \in A, \ \norme{x-a}_E<\alpha \Longrightarrow \norme{f(x)-\ell}_F < \eps$$ $$ \exists \beta>0 \text{ tq } \forall x \in B, \ \norme{x-a}_E<\beta \Longrightarrow \norme{f(x)-\ell}_F < \eps$$ On aura donc, pour tout $x\in A\cup B$ : $\norme{x-a}_E<\min(\alpha,\beta) \Longrightarrow \norme{f(x)-\ell}_F < \eps$, c'est-à-dire que $f$ admet pour limite~$\ell$ en~$a$ selon~$A\cup B$.

Exemples

  1. Dans le cas des suites: $(u_n)$ converge ssi $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite.
  2. Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle: $\dsp\lim_{x\to a}f(x)$ existe ssi $\dsp\lim_{x \to a^+}f(x)$ et $\dsp\lim_{x \to a^{-}}f(x)$ existent et sont égales.

Soit $D$ une partie non vide de $E$, et $f$ une application de $D$ dans $F$. Soit $A$ une partie de $D$, et $a\in\overline{A}$.
Les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. $f$ admet la limite $\ell$ en $a$ selon $A$.
  2. Pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $a$, la suite $\big(f(x_n)\big)_{n\in\N}$ converge vers $\ell$.
Démonstration

(i)$\Rightarrow$ (ii): Supposons $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)$ et soit $(x_n)\in A^{\N}$ t.q. $\dsp\lim_{n\to \infty}x_n=a$. On écrit les deux définitions : $$\forall V \in \mathscr{V}(\ell),\ \exists U\in \mathscr{V}(a) \text{ tq } f(U\cap A)\subset V \quad (1)$$ $$\forall W\in \mathscr{V}(a),\ \exists n_0\in \N \text{ tq } n\geq n_0 \Longrightarrow x_n\in W \quad (2)$$ Soit $V \in \mathscr{V}(\ell)$. On utilise alors $(1)$, puis on applique $(2)$ avec $W=U$. On a alors: $$\exists U\in \mathscr{V}(a), \ \exists n_0\in \N \text{ tq } n\geq n_0 \Longrightarrow x_n\in U \text{ et } f(U\cap A)\subset V$$ Pour $n\geq n_0$, on aura donc $x_n\in U\cap A$ (car $x_n \in A$ par hypothèse) donc $f(x_n)\in V$. Finalement, on a obtenu: $$\forall V \in \mathscr{V}(\ell),\ \exists n_0\in \N \text{ tq } n\geq n_0 \Longrightarrow f(x_n)\in V$$ ce qui est exactement la définition de $\dsp\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\ell$.

(ii)$\Rightarrow$ (i): Supposons que, pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $a$, la suite $\big(f(x_n)\big)_{n\in\N}$ converge vers $\ell$. On raisonne par l'absurde: si $f$ ne convergeait pas vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $a$ en restant dans $A$, on aurait: $$\exists V \in \mathscr{V}(\ell)\text{ tq } \forall U\in \mathscr{V}(a), \exists x\in U\cap A \text{ avec } f(x)\notin V$$ On prend alors pour $U$ une boule ouverte de centre $a$ et de rayon $\dfrac1n$ (avec $n\in \N^*$), on obtient l'existence pour tout $n\in \N^*$ de $x_n\in A$ tel que $\norme{x_n-a}> \dfrac1n$, et $f(x_n)\notin V$, c'est-à-dire que $(x_n)$ est une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$ mais $f(x_n)$ ne peut converger vers $\ell$: contradiction.

Remarque

D'après le théorème Car. seq. de l'adhérence , si $f$ admet une limite $\ell$ en $a$ alors $\ell\in \overline{f(A)}$.

On suppose que $F$ est de dimension finie $p$ et soit $\BB=(b_1,\cdots,b_p)$ une base de $F$.

Soit $f$ une application de $D\subset E$ à valeurs dans $F$. Pour tout $x\in D$, $f(x)$ peut s'écrire, dans la base $\mathscr{B}$ sous la forme: $$f(x) = \dsum_{i=1}^pf_i(x) b_i$$ Les $f_i$, définies sur $D$ et à valeurs dans $\K$, s'appellent les applications coordonnées de $f$ dans la base $\BB$.

Soit $A\subset D$ et $a\in\overline{A}$, alors:
$f$ admet une limite en $a$ selon $A$, ssi, pour tout $i \in \inter{1,p}$, $f_i$ admette une limite dans $\K$ en $a$ selon $A$.
Dans ce cas si on note $$\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A } }f(x)=\ell=\dsum_{i=1}^p\ell_i b_i=\dsum_{i=1}^p\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f_i(x)b_i.$$

Opérations sur les limites

Soient $E$ et $F$ deux evns. Soit $D$ une partie non vide de $E$, et $f$ et $g$ deux applications de $D$ dans $F$. Soit enfin $A$ une partie de $D$, et $a\in\overline{A}$.
Si $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)=\ell$ et $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}g(x)=\ell'$ existent, alors $$\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A }}(f+g)(x)\text{ existe et est égale à }\ell+\ell'.$$

Soient $E$ et $F$ deux evns. Soit $D$ une partie non vide de $E$,$A$ une partie de $D$, et $a\in\overline{A}$, $f$ une application de $D$ dans $F$ et $\varphi$ une application de $D$ dans $\K$.
Si $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)=\ell \in E$ et $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}\varphi(x)=\lambda \in \K$ existent, alors $$\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}(\varphi \cdot f)(x)\text{ existe et est égale à }\lambda \cdot \ell.$$

Soit $E$, $F$, $G$ trois evns, $D\subset E$, $\Delta\subset F$, $f:D\longrightarrow\Delta$ et $g:\Delta\longrightarrow G$.
Soit $A$ une partie de $D$, $a\in\overline{A}\,$ et $B$ une partie de $\Delta$. On suppose $f(A)\subset B$, et $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A}}f(x)=b$.
Alors, $b \in\overline{B } $, et si $\dsp\lim_{\substack{y \to b \\y\in B}}g(y)=\ell \in G$, alors $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in A } }(g \circ f)(x)=\ell$.

Continuité

Continuité en un point

Soient $E$ et $F$ deux evns, $D$ une partie non vide de $E$, $f$ une application de $D$ dans $F$.
Soit $a$ appartenant à $D$. On dit que $f$ est continue en $a$ si sa limite en $a$ selon $D$ existe (et elle vaut alors nécessairement $f(a)$). Cela équivaut à : $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\neq a}}f(x)=f(a)$ .

Remarques

  • Dire que $f$ est continue en $a$ peut s'écrire: $$\forall\varepsilon>0,\,\, \exists\alpha>0,\,\,\forall x\in D, \,\,\norme{x-a}_E < \alpha\Longrightarrow \norme{f(x)-f(a)}_F \leq \varepsilon.$$ ou encore $$\forall V \in \mathscr{V}(f(a)),\ \exists U\in \mathscr{V}(a) \text{ tel que } f(U\cap D) \subset V.$$
  • La notion de voisinage étant une notion topologique, l'écriture précédente montre que la notion de continuité est inchangée si on remplace l'une des normes (dans $E$ ou $F$) par une norme équivalente.

Si $f$ est définie sur $D\setminus \{a\}$ avec $a\in \overline{A}$ et si $\ell=\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\neq a}}f(x)$ existe, on peut définir une application $$\fonct{\widehat{f}}{D}{F}{x}{\begin{cases} f(x) & \text{si } x\neq a \\ \ell &\text{si } x=a \end{cases}}.$$ $\widehat{f}$ est continue en $a$ et s'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$

Soient $E$ et $F$ deux evns, $D$ une partie non vide de $E$, $f$ une application de $D$ dans $F$, et $a\in D$. Alors
$f$ est continue en $a$ ssi pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ qui converge vers $a$, la suite $f(x_n)$ converge vers $f(a)$ .

Remarque

Ce résultat peut être utilisé pour montrer qu'une application $f$ n'est pas continue en $a$.

Exemple

On considère $f$ définie par $f(0)=0$ et $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ pour $x\neq 0$. On considère les deux suites: $$u_n=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi},\quad v_n=\dfrac{1}{\frac{\pi}{4}+2n\pi}$$ il est clair que $u_n\tendversN\,0$ et $v_n\tendversN\,0$, tandis que $$f(u_n)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=1,\, f(v_n)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+2n\pi\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ donc $f$ n'est pas continue en $0$.

Soient $E$,$F$,$G$ trois evn, $D$ une partie de $E$ et $\Delta$ une partie de $F$. Soit $f\in \mathscr{A}(D,F)$ telle que $f(D)\subset \Delta$, et $g \in \mathscr{A}(\Delta,G)$.
Si $f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g\circ f$ est continue en $a$.

On suppose que $F$ est de dimension finie, et $\BB=(b_1,\cdots,b_p)$ une base de $F$. (c.f. définition ci-dessus)

$f$ est continue en $a$ ssi , pour tout $i\in \inter{1,n}$, $f_i$ est continue en $a$.

Continuité globale

Soient $E$ et $F$ deux evns, $D$ une partie non vide de $E$, $f$ une application de $D$ dans $F$.
On dira que $f$ est continue sur $D$ si elle est continue en tout point de $D$. L'ensemble des applications continues sur $D$ et à valeurs dans $F$ se note $\CC(D,F)$ .


Soient $E,F$ deux $\K$-EVN et $f:E\longmapsto F$. Montrer que : $f$ est continue ssi pour tout $A\subset E$, $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$.

Correction

$\Longrightarrow\,$ Supposons que $f$ est continue, soit $A\subset E$ non vide et $x\in \overline{A}$, alors il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ telle que $x_n\tendversN\,x$, comme $f$ est continue alors $f(x_n) \,(\in f(A)) \tendversN\, f(x)$ ce qui implique $f(x)\in \overline{f(A)}$.
$\Longleftarrow\,$ Supposons que $f$ vérifie : pour tout $A\subset E$, $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$.
Supposons qu'il existe $x\in E$ tel que $f$ n'est pas continue en $x$. i.e $\dsp\lim_{z\to x}f(z)\neq f(x)$. Ainsi, $$\exists \varepsilon >0,\,\forall r>0,\, \,\exists z\in B(x,r),\quad \norme{f(z)-f(x)}_F\geq \varepsilon.$$ Pour $n\in \N^*$, on pose $r=\frac{1}{n}$ dans la relation précédente, donc il existe $z_n\in E$ tel que $\norme{z-x}_E \leq \dfrac{1}{n}$ et $\norme{f(z_n)-f(x)}_F\geq \varepsilon$.
On note maintenant $A=\{z_n,\,n\geq 1\}$, alors $x\in \overline{A}$ car $z_n\tendversN x$ mais $f(x)\not\in \overline{f(A)}$ ce qui est absurde.
Donc $f$ est continue sur $E$.

$E,F,G$ trois $\K$-evn, $D\subset E,\, \Delta \subset F$.

  1. Pour tout $f,g\in \CC(D,F)$ et $\lambda,\,\mu\in \K$, on a $\lambda f+\mu g\in \CC(D,F)$, autrement dit, $\CC(D,F)$ est un sev de $\mathscr{A}(D,F)$.
  2. Soient $f\in \CC(D,F)$ et $g\in \CC(\Delta,G)$, on suppose que $f(D)\subset \Delta$ alors $g\circ f\in \CC(D,G)$.
  3. Soit $f\in \CC(D,F)$ et $\varphi\in \CC(A,\K)$ alors $\varphi f\in \CC(A,F)$, de plus si $\varphi$ ne s'annule pas sur $D$ alors $\frac{1}{\varphi}f\in \CC(D,F)$.

Exemple

Soit $n\geq 1$, Pour $i\in \inter{1,n}$ on note $\fonct{p_i}{\K^n}{\K}{(x_1,\cdots,x_n)}{x_i}$ est une fonction continue sur $\K^n$ (on peut montrer la continuité en utilisant la définition ou en utilisant la caractérisation des application linéaire continue c.f. théorème suivant).
En utilisant le résultat précédent, on trouve $$\forall (a_1,\cdots,a_n)\in \N^n,\forall \lambda\in \K,\, \fonct{f}{\K^n}{\K}{(x_1,\cdots,x_n)}{\lambda x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}} \in \CC(\K^n,\K).$$ Plus généralement, tout fonction polynomiale en les cordonnées de $x$ est une fonction continue.


Soient $f\in \CC(\R,\R)$ et $D=\R^*\times \R$. On définit sur $D$ la fonction $g$ par: $$\forall (x,y)\in D,\quad g(x,y)=\dfrac{1}{x}\int_x^{xy}f(t)\ud t.$$ Montrer que $g$ est continue sur $D$. Peut-on prolonger $g$ par continuité sur $\R^2$?

Correction

Comme $f$ est continue sur $\R$, alors $f$ admet une primitive sur $\R$, qu'on note $F$ ($F\in \CC^1(\R,\R)$ et $F'=f$).
On note aussi $\fonct{p_1}{\R^2}{\R}{(x,y)}{x}$ et $\fonct{p_2}{\R^2}{\R}{(x,y)}{y}$. Il est clair que $p_1, p_2$ sont continues sur $D$, de plus $p_1$ ne s'annule pas sur $D$ donc $1/p_1$ est aussi continue sur $D$.
On peut alors écrire $g=\dfrac{F\circ (p_1p_2)-F\circ p_1}{p_1}$, ceci prouve que $g$ est continue sur $D$.
D'autre par, pour tout $x\neq 0$ et $y\neq 0$, on a $$\begin{array}{lcl} g(x,y)&=&\dfrac{F(yx)-F(x)}{x}=\dfrac{F(yx)-F(0)+F(0)-F(x)}{x-0}\\ &&\\ &=&y\dfrac{F(yx)-F(0)}{yx-0}-\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}\tendvers{x}{0}yF'(0)-F'(0) \end{array} $$ Comme $F'(0)=f(0)$, alors $g(x,y)\tendvers{x}{0} (y-1)f(0)$. Ce résultat reste vrai si $y=0$ puisque $g(x,0)=\dfrac{-1}{x}\dsp\int_0^xf(t)\ud t\tendvers{x}{0}-f(0)$.
On en déduit qu'on peut prolonger $g$ par continuité sur $\R^2$, on posant $g(0,y)=(y-1)f(0)$.

Soient $E$ et $F$ deux evns, et $f$ une application de $E$ dans $F$. Les propositions suivantes sont équivalentes:

  1. $f$ est continue sur $E$.
  2. l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$.
  3. l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$.
Remarques

  • C'est un résultat important, qu'on utilise souvent pour déterminer si un ensemble est un ouvert (ou fermé).
  • Il faut faire attention, dans ce théorème on utilise l'image réciproque et à ne pas confondre avec l'image direct.
    En effet, l'image direct d'un ouvert (res. fermé) par une application continue n'est pas forcément un ouvert (resp. un fermé).
Exemples
  1. Soient $f,g:\R \longrightarrow\R$, continues. Alors (par exemple) $$\big\{ x\in \R \text{ tq } f(x) < g(x)\big\} \text{ est un ouvert de} \R.$$ $$\big\{ x\in \R \text{ tq } f(x)\leqslant g(x)\big\}\text{ est un fermé de }\R.$$
  2. Soit $f\in\CC(\R,\R)$ et soient $$\begin{array}{ll} \Gamma&=\big\{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } y=f(x)\big\} \text{ le graphe de } f\\ \mathscr{E}&=\big\{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } y\geqslant f(x)\big\} \text{ l'épigraphe de } f\\ \mathscr{E}'&=\big\{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } y > f(x)\big\} \end{array} $$ Alors $\Gamma$ et $\mathscr{E}$ sont des parties fermées de $\R^2$ et $\mathscr{E}'$ est une partie ouverte de $\R^2$.
  3. $f:\R\longmapsto\R$ définie par $f(x)=\sin(x)$, alors $f(\R)=[-1,1]$ donc l'image directe d'un ouvert dans ce cas est un fermé.
  4. $f:\R\longmapsto \R$, définie par $f(x)=\Arctan (x)$, alors $f(\R)=]-\pi/2,\pi/2[$ donc l'image directe d'un fermé dans ce cas est un ouvert.
(E3A--2018)

Soient $\Omega=\{\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}\in \MM_2(\R),\, (a-d)^2+4bc>0\}$ et $F=\{\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}\in \MM_2(\R),\, (a-d)^2+4bc\geq 0\}$. Montrer que $\Omega$ est un ouvert de $\MM_2(\R)$ et $F$ est un fermé de $\MM_2(\R)$.

Correction

On définie la fonction $f$ de $\MM_2(\R)$ dans $\R$ par $f(A)= (a-d)^2+4bc$ si $A=\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$. $f$ est une fonction polynomiale en les cordonnées de $A$ donc $f$ est continue sur $\MM_2(\R)$.
Il suffit après d'écrire $\Omega=f^{-1}(\R_+^*)$ et $F=f^{-1}(\R_+)$.


Soit $E$ un evn

  1. Soient $A,\,B$ deux fermés non vides de $E$. Montrer que: $$A\cap B =\emptyset \Longleftrightarrow \forall x\in E,\quad \ud (x,A)+\ud (x,B)\neq 0.$$
  2. On suppose que $A\cap B=\emptyset$. Construire une application $f$ continue de $E$ dans $\R$ telle que $f_{\mid A}=0$ et $f_{\mid B}=1$.
    En déduire l'existence de deux ouverts disjoints $U$ et $V$ tels que $A\subset U$ et $B\subset V$.

Correction

  1. On sait que $\ud (x,A)=0\Leftrightarrow x\in \overline{A}$, puisque $A$ et $B$ sont fermés alors $\overline{A}=A$ et $\overline{B}=B$. Donc en utilisant la première remarque, on a: $$\begin{array}{lcl} \ud (x,A)+\ud (x,B)=0&\Longleftrightarrow & \ud (x,A)=0=\ud (x,B)\\ &\Longleftrightarrow & x\in A \text{ et }x\in B\\ & \Longleftrightarrow & x\in A\cap B \end{array}$$ On en déduit donc, $A\cap B=\emptyset$ ssi $\forall x\in E,\quad \ud (x,A)+\ud (x,B)>0$.
  2. On définit $f$ par, $$\forall x\in E,\,\,f(x)=\dfrac{\ud (x,A)}{\ud (x,B)+\ud (x,A)}.$$ $f$ est bien définie puisque $\ud (x,B)+\ud (x,A)>0$. De plus $f$ est continue sur $E$, puisque $x\mapsto \ud(x,A)$ (resp. $x\longmapsto \ud(x,B)$) sont continues sur $E$. D'autre part, on a: $$\forall x\in A,\quad f(x)=\dfrac{\ud (x,A)}{\ud (x,B)+\ud (x,A)}=\dfrac{0}{\ud (x,B)}=0,$$ $$ \forall x\in B,\quad f(x)=\dfrac{\ud (x,A)}{\ud (x,B)+\ud (x,A)}=\dfrac{\ud (x,A)}{\ud (x,A)}=1.$$

Posons maintenant $U=f^{-1}(]-\infty,\frac{1}{2}[),\,\, V=f^{-1}(]\frac{1}{2},\infty[)$, comme $f$ est continue on a $U,\,V$ sont des ouverts de $E$ et clairement $U\cap V=\emptyset$ et $A\subset U,\,\,B\subset V$.

Soient $E,\,F$ deux e-v-n de dimensions finies et $f$ une application continue de $A\subset E$ dans $F$.
Si $A$ est un ensemble fermé borné de $E$ alors $f(A)$ est fermé borné dans $F$ .

Soient $E$ e-v-n de dimension finie et $f$ une application continue de $A\subset E$ dans $\R$.
Si $A$ est un ensemble fermé borné de $E$ alors $f(A)$ est un segment de $\R$ .
Donc $f$ est bornée sur $A$ et atteint ses bornes .

Soient $E$ et $F$ deux evns et $f,g$ deux applications continues de $E$ dans $F$. Soit $A$ une partie dense dans $E$.
Si, pour tout $x\in A$, $f(x)=g(x)$, alors $f=g$ .

Fonctions lipschitzienne

Soit $k \in \R_+$. Une application $f: D \rightarrow F$ est dite $k$-lipschitzienne ssi : $$\forall(x,y)\in D^2,\,\,\norme{f(x)-f(y)}_F\leqslant k\norme{x-y}_E.$$ Elle est dite contractante si elle est $k$-lipschitzienne avec $k< 1$.

Remarque

Le rapport $k$ défini ci-dessus n'est pas unique: on peut en effet remplacer $k$ par n'importe quel réel plus grand.
Plus précisément, soit $A=\left\{ \dfrac{\norme{f(x)-f(y)}_F}{\norme{x-y}_E}, \ (x,y)\in D^2, \ x\neq y \right\}$; alors $f$ est lipschitzienne ssi l'ensemble $A$ est majoré; les réels $k$ tels que $f$ soit $k$-lipschitzienne sont alors les majorants de $A$. Le meilleur rapport de lipschitziannité de $f$ est alors le plus petit de ces majorants, i.e la borne supérieure de $A$.

Exemples

  1. L'application $\fonct{\norme{\cdot}}{E}{\R}{x}{\norme{x}}$ est $1$-lipschitzienne, en effet, on a: $$\forall x,y\in E,\quad \Big| \norme{x}-\norme{y} \Big| \leqslant \norme{x-y}. $$
  2. Soit $A$ une partie non vide de $E$, l'application distance à $A$, $\fonct{d_A}{E}{\R}{x}{\ud (x,A)}$ est $1$-lipschitzienne.

  1. L'ensemble des applications lipschitziennes de $D$ dans $F$ est un sev de $\mathscr{A}(D,F)$.
  2. La composée d'applications lipschitziennes est lipschitzienne.


Soient $E$ un $\K$-evn et $T:E \to E$ définie par $T(u) = \left\{ { \begin{array}{ll} u & {{\text{si }}\left\| u \right\| \leqslant 1} \\ {\frac{u}{{\left\| u \right\|}}} & {{\text{sinon}}} \\ \end{array} } \right.$.
Montrer que $T$ est 2-lipschitzienne.

Correction

Soient $u,v\in E$,

  1. Si $\norme{u}\leq 1$ et $\norme{v}\leq 1$, on a immédiatement $$\norme{T(u)-T(v)}=\norme{u-v}\leq 2\norme{u-v}.$$
  2. Si $\norme{u}> 1$ et $\norme{v}> 1$, en utilisant le résultat de l'exercice sur les normes, on trouve: $$\norme{T(u)-T(v)}= \norme{\dfrac{u}{\norme{u}}-\dfrac{v}{\norme{v}}}\leq \max(\norme{u},\norme{v})\norme{\dfrac{u}{\norme{u}}-\dfrac{v}{\norme{v}}}\leq 2\norme{u-v}.$$
  3. Si $\norme{u}\leq 1$ et $\norme{v}>1$, on a alors: $$\begin{array}{lcl} \norme{T(u)-T(v)}&=& \norme{u-\dfrac{v}{\norme{v}}}=\norme{u-v+v-\dfrac{v}{\norme{v}}}\\ &\leq & \norme{u-v}+\norme{\left(1-\frac{1}{\norme{v}}\right)v}=\norme{u-v}+\norme{v}-1\\ &\leq & \norme{u-v}+\norme{v}-\norme{u}\leq 2\norme{u-v} \end{array}$$
  4. Si $\norme{v}\leq 1$ et $\norme{u}>1$, ce cas est équivalent au cas précédent.

Donc, dans tous les cas, on a: $\norme{T(u)-T(v)}\leq 2\norme{u-v}$ ce qui prouve le résultat.

Soit $f\in \mathscr{A}(D,F)$ (avec $D\subset E$) une application $k$-lipschitzienne, alors $f$ est une application continue.

Remarque

La réciproque est fausse.

On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $D$ une partie fermée de $E$, et $f$ une application contractante de $D$ dans $D$. Alors :

  1. l'équation $f(x)=x$ admet une et une seule solution $\ell \in D$ .
  2. Pour tout $u_0 \in D$, la suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1 } =f(u_n)$ converge vers $\ell$.

Applications linéaires continues

Soient $E$ et $F$ deux evns, et $u \in \LL(E,F)$. Les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. $u$ est continue.
  2. $u$ est continue en $0_E$.
  3. Il existe un réel $k> 0$ tel que, pour tout $x\in E$, $\norme{u(x)}\leq k\norme{x}$.

Démonstration :

$\mathbf{a} \Longrightarrow \mathbf{b} $ C'est trivial.

$\mathbf{b} \Longrightarrow \mathbf{c} $ Soit $u\in \LL(E,F)$ continue en $0$, alors d'après la définition de la continuité, il existe $\eta>0$, tel que pour tout $x\in B(0,\eta)$, on a $\norme{u(x)-u(0)}_F=\norme{u(x)}_F\leq 1$. Pour tout $x\in E,\,x\neq 0$, on a $\dfrac{\eta x}{2\norme{x}_E}\in B(0,\eta)$, ce qui donne $$\norme{u\left(\dfrac{\eta x}{2\norme{x}_E}\right)}_F\leq 1,\, \Longrightarrow \norme{\dfrac{\eta }{2\norme{x}_E}u(x)}_F\leq 1\Longrightarrow \norme{u(x)}_F\leq \dfrac{2}{\eta}\norme{x}_E$$ Ce qui prouve la relation.

$\mathbf{c} \Longrightarrow \mathbf{a} $ Soit $u\in \LL(E,F)$ et supposons que $u$ vérifie la relation $\mathbf{c)}$ Soient $x,y\in E$, alors $$\norme{u(x)-u(y)}_F=\norme{u(x-y)}_F\leq k\norme{x-y}_E\Longrightarrow u \text{ est } k-\text{lipschitzienne}$$ Ce qui prouve que $u$ est continue.

Remarques

  • On peut remplacer la propriété 3 par $u$ est $k$-lipschitzienne.
  • On peut montrer aussi que $u$ est continue ssi $u$ est bornée sur la sphère unité.


Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f \in \LL(E,F)$. On suppose que, pour toute suite $(u_n )$ tendant vers $0$, $f(u_n )$ est bornée. Montrer que $f$ est continue.

Correction

Supposons que $f$ n'est pas continue, alors $$\forall n\in \N^*,\, \exists x_n E\setminus\{0\},\,\, \norme{f(x_n)}_F\geq n\norme{x_n}_E.$$ On pose alors $z_n=\dfrac{x_n}{\sqrt{n}\norme{x_n}_E}$, on a $\norme{z_n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ donc $z_n\tendversN\,0$.
D'autre part, on a $$\norme{f(z_n)}_F= \norme{f\left(\dfrac{x_n}{\sqrt{n}\norme{x_n}_E}\right)}_F=\dfrac{1}{\sqrt{n}\norme{x_n}_E}\norme{f(x_n)}_F\geq \dfrac{n\norme{x_n}_E}{\sqrt{n}\norme{x_n}_E}=\sqrt{n}\tendversN\,\infty$$ ce qui contredit l'hypothèse. Donc $f$ est continue.

Soit $E$ un espace-vectoriel normé de dimension finie $n$ et $\BB= (e_1,\cdots,e_n)$ une base de $E$. Alors l'application $$\fonct{\varphi}{\K^n}{E}{(x_1,\cdots,x_n)}{\dsum_{i=1}^nx_ie_i}$$ est bijective, de plus $\varphi$ (resp. $\varphi^{-1}$) continue de $(\K^n,\norme{\cdot}_\infty)$ dans $(E,\norme{\cdot}_E)$ (resp. de $(E,\norme{\cdot}_E)$ dans $(\K^n,\norme{\cdot}_\infty)$).

Démonstration :

La bijective de $\varphi$ est évidente.

Soit $X=(x_1,\cdots,x_n)\in \K^n$, on a $$\norme{\varphi(X)}_E=\norme{\dsum_{k=1}^nx_ke_k}_E\leq \dsum_{k=1}^n\abs{x_k}\norme{e_k}_E\leq M\norme{X}_\infty.$$ Avec $M= \dsum_{k=1}^n\norme{e_k}_E$, ceci prouve la continuité de $\varphi$.

L'application $X\in \K^n$ associé $\norme{\varphi(X)}_E$ est continue sur $\K^n$, dons elle atteint ses borne sur $S(0,1)=\{X\in K^n,\, \norme{X}_\infty=1\}$. Il existe alors $X_0\in S(0,1)$ tel que $$\alpha= \norme{\varphi(X_0)}_E=\min_{X\in S(0,1)} \norme{\varphi(X)}_E.$$ De plus $\alpha>0$ car sinon on aurait $\varphi(X_0)=0_E$ ce qui implique $X_0=0$.

D'autre part, pour tout $X\in \K^n$ avec $X\neq 0$, on a $\dfrac{X}{\norme{X}_\infty}\in S(0,1)$ ce qui donne, $$\alpha\leq \norme{\varphi\left(\frac{X}{\norme{X}_\infty}\right)}_E\Longrightarrow \alpha \norme{X}_\infty\leq \norme{\varphi(X)}_E\Longrightarrow \norme{X}_\infty\leq \dfrac{1}{\alpha}\norme{\varphi(X)}_E$$ Cette dernière relation reste vraie pour $X=0$. On en déduit alors, $$\forall X\in E,\quad \norme{\varphi^{-1}(X)}_\infty\leq \dfrac{1}{\alpha}\norme{X}_E$$ Autrement dit, $\varphi^{-1}$ est continue.

Si $E$ est de dimension finie, toute application linéaire $u\in \LL(E,F)$ est continue .

Démonstration :

Soient $\mathscr{B}=(e_1,\cdots,e_n)$ une base de $E$ et $u\in\LL(E,F)$. On définit $v=u\circ\varphi\in \LL(\K^n,F)$ ($\varphi$ est définit dans le théorème précédent). Pour tout $X=(x_1,\cdots,x_n)\in \K^n$, on a $$\begin{array}{lcl} \norme{v(x)}_F =\norme{\dsum_{i=1}^n x_i u(e_i)}_F & \leq& \dsum_{i=1}^n \abs{x_i}\norme{u(e_i)}_F \\ &\leq &M \norme{X}_\infty\,\text{\small avec } M=\dsp\dsum_{1\leq i \leq n}\norme{u(e_i)}_F \end{array} $$ Ainsi, $\norme{v(x)}_F \leq M \norme{X}_\infty$, ce qui prouve que $v$ est continue (d'après le théorème 2.15). D'autre part, $\varphi^{-1}$ est continue, ce qui prouve que $u=v\circ\varphi^{-1}$ est continue comme la composition de deux applications continues.


Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que toutes les normes sur $E$ sont équivalents.

Correction

Soient $N_1,\,N_2$ deux normes définies sur $E$. Puisque $E$ est de dimension finie, alors $\ide$ est continue de $(E,N_1)$ dans $(E,N_2)$, donc, $$ \tag{$\star$} \exists K_1>0,\quad \forall x\in E,\, N_1(\ide (x))=N_1(x)\leq K_1 N_2(x). $$ De même $\ide$ est continue de $(E,N_2)$ dans $(E,N_1)$, donc, $$ \tag{$\star\star$} \exists K_2>0,\quad \forall x\in E,\, N_2(\ide (x))=N_2(x)\leq K_2 N_1(x). $$ Les relations ($\star$) et ($\star\star$) impliquent que les deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes.


Soit $E=\R_n[X]$ muni de la norme suivante $\norme{P}=\sup\{\abs{P(t)},\,t\in [0,1]\}.$ Montrer la relation suivante: $$\exists c>0,\quad \forall P\in E,\, \abs{P(2019)+P(2020)} \leq c\int_0^1 \abs{P(t)}\ud t.$$

Correction

L'application $\fonct{\varphi}{E}{\R}{P}{P(2019)+P(2020)}$ est linéaire donc continue puisque $E$ est de dimension finie. D'après la caractérisation des applications linéaires continues, il existe $K>0$, tel que pour tout $P\in E$, on a $\abs{\varphi(P)}\leq K\norme{P}$.
D'autre part, l'application qui à $P$ associé $\dsp\int_0^1\abs{P}$ définie une norme sur $E$ donc équivalente à la norme déjà définie. On en déduit alors $$\exists \alpha>0,\quad \forall P\in E,\quad \norme{P}\leq \alpha \int_0^1\abs{P(t)}\ud t.$$ Il suffit alors de prendre $c=\alpha \times K$.

Soient $E,F,G$ des $\K$-evn, et $\varphi:E\times F\longmapsto G$ une application bilinéaire. On suppose, $$\exists K>0,\quad \forall (x,y)\in E\times F,\quad \norme{\varphi(x,y)}_G\leq K\norme{x}_E\norme{y}_F$$ Alors $\varphi$ est continue sur $E\times F$.

Démonstration :

Soient $(a,b)\in E\times F$, pour tout $(x,y)\in E\times F$, on a $$\begin{array}{lcl} \norme{\varphi(x,y)-\varphi(a,b)}_G&=&\norme{\varphi(x-a,y)+\varphi(a,y-b)}_G\\ &\leq & \norme{\varphi(x-a,y)}_G+\norme{\varphi(a,y-b)}_G\\ &\leq &K\norme{y}_F\norme{x-a}_E+K\norme{a}_E\norme{y-b}_F\tendvers{(x,y)}{(a,b)} 0 \end{array} $$ Ce qui prouve la continuité de $\varphi$ en $(a,b)$.

Si $\enumsp{E}1p$ sont des evns de dimension finie, alors toute application $p$-linéaire sur $E_1\times\cdots\times E_p$ est continue.

Démonstration :

On suppose que $p=2$.

Soit $(e_1,\cdots,e_n)$ une base de $E_1$ et $(e'_1,\cdots,e'_m)$ une base de $E_2$. Toutes les normes sur un e-v de dimension finie étant équivalentes; on supposera $E_1$ et $E_2$ munis chacun de la norme $\norme{\phantom{u}}_\infty$.

Soient $x=\dsum_{i=1}^n x_i e_i \in E_1$ et $y=\dsum_{j=1}^m y_j e'_j \in E_2$. On a $$u(x,y)=u\left( \dsum_{i=1}^n x_i e_i, \dsum_{j=1}^m y_j e'_j \right) = \dsum_{i,j} x_i y_j u(e_i,e'_j)$$ d'où, d'après l'inégalité triangulaire: $$\norme{u(x,y)}_F \leq \dsum_{i,j}\abs{x_i}\abs{y_j}\norme{u(e_i,e'_j)}_F.$$

Si on note alors $k=\dsum_{i,j}\norme{u(e_i,e'_j)}_F$, puisque $\abs{x_i}\leq\norme{x}_\infty$ et $\abs{y_j}\leq\norme{y}_\infty$, on aura $$\norme{u(x,y)}_F\leq k\norme{x}_\infty\cdot\norme{y}_\infty.$$ D'après la proposition précédente, on en déduit alors que $u$ est continue sur $E_1\times E_2$.

Exemples

  1. Si $E$ est un ev de dimension $n$ rapporté à une base $\mathscr{B}$, l'application $\det_{\mathscr{B}}$ qui à toute famille de $n$ vecteurs de $E$ associe son déterminant dans la base $\mathscr{B}$ est continue.
  2. Dans $\MM_n(\K)$, l'application qui à deux matrices $A$ et $B$ associe leur produit $AB$ est bilinéaire continue.
  3. $E$ est un espace préhilbertien réel, alors $\fonct{\varphi}{E\times E}{\R}{(x,y)}{\langle x|y \rangle}$ est une forme bilinéaire continue.