Intégrales impropres

Généralement on utilise l'IPP lorsque $fg'$ est plus facile que $f'g$ à intégrer.

Dans le théorème précédent, il n'y a pas d'exigence sur la monotonie de $\varphi$ (bien que en générale, on choisit $\varphi$ strictement monotone). On verra dans les intégrales des fonctions continues par morceaux, qu'on exigera que $\varphi$ soit strictement monotone.

• $f$ est continue par morceaux implique que $f\in \CC(]x_i,x_{i+1}[)$ et $f$ admet une limite finie en $x_i^+$ et une limite finie en $x_{i+1}^-$.
• Une fonction continue par morceaux est donc continue sur $[a,b]$ sauf en nombre fini de points de $[a,b]$, et admet des limite finie à droite et à gauche en chacun de ces points.
• Ceci implique donc qu'une fonction continue par morceau sur un segment est une fonction bornée, mais contrairement à une fonction continue, elle n'atteint pas forcement ses bornes.
• La subdivision $\sigma$ n'est pas unique. Et une subdivision adaptée à $f$ doit contenir les points de discontinuité de $f$.

En notant $a_0=a < a_1 < \cdot < a_p=b$ les éventuels points de discontinuité de $f$, alors pour tout $\sigma=(x_i)_{0\leq i\leq n}$ une subdivision adaptée à $f$, on a $$ n\geq p,\quad\forall k\in \inter{0,p},\,\,\,\exists! i_k\in \inter{0,n},\, a_k=x_{i_k}$$ avec $i_0=0 < i_1 < \cdots < i_p=n$. En utilisant donc la relation de Chasles, on trouve $$I(f,\sigma)=\dsum_{i=0}^n\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(t)\ud t=\dsum_{k=0}^{p-1}\dsum_{i=i_k}^{i_{k+1}-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(t)\ud t=\dsum_{k=0}^{p-1}\int_{x_{i_k}}^{x_{i_{k+1}}}f(t)\ud t=\dsum_{i=0}^{p-1}\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)\ud t$$

• Bien évidement ces relations sont valables si les bornes de l'intégrale sont dans le bon sens i.e. $a < b$.
• Contrairement à une fonction continue, on peut avoir $f\geq 0$ et $\dsp\int_a^b f=0$ sans que $f$ soit la fonction nulle. En effet, dans ce cas $f=0$ sauf 'éventuellement' en un nombre fini de points.
• Ceci implique que si $f,g\in \CC_M([a,b],\K)$ qui ne différent qu'en un nombre fini de points alors $\dsp \int_a^bf =\int_a^bg$.

Il est important de ne pas confondre une intégrale bien défnie ($I$ est un segment, $f\in \CC_M(I,K)$) avec une intégrale impropre

Dans le cas ou $I$ est de la forme $]a,b]$ avec $-\infty\leq a < b < \infty$, la définition de la convergence devient: $$ \int_a^bf(t)\ud t \text{ converge ssi } \dsp\lim_{x\to a^{+}} \int_x^b f(t) \ud t\quad\text{existe}.$$

Comme pour les séries numériques, on fera attention pour ne pas confondre l'objet 'intégrale impropre' $\dsp\int_a^b f(t)\ud t$, il s'agit juste d'un symbole qui pourra avoir le statut convergence ou divergence, et il est impossible de l'utiliser dans les calculs tant que l'on n'a pas prouvé son existence, c'est-à-dire la convergence de l'intégrale.

• Ce résultat n'est pas valable si $b=\infty$, par exemple $\dfrac{1}{t}\tendvers{t}{\infty}0$ et pourtant $\dsp\int_1^\infty\dfrac{\ud t}{t}$ diverge.
• On a un résultat analogue dans le cas ou $I$ est de la forme $]a,b]$ avec $-\infty < a < b < \infty$.

• Autrement dit, pour une fonction continue par morceaux sur $[a,b[$, l'existence de l'intégrale dépend du comportement de $f$ au voisinage de $b$.
• Si $\dsp\int_a^bf$ converge alors $\dsp\int_x^bf\tendvers{x}{b^-}\,0$.
• Si $b=\infty$, on peut faire le lien $\dsp\int_x^\infty f$ au reste d'une série numérique et entre $\dsp\int_a^xf $ et la somme partielle d'une séries numérique.

1. Si $\dsp\int_a^b f$ converge, alors sa valeur ne dépend pas du choix de $c$, en effet dans ce cas tous les réels de l'intervalle $]a,b[$ conviennent .
2. $\dsp\int_a^b f$ diverge signifie que l'une au moins des intégrales $\dsp\int_a^c f(t) \ud t$ ou $\dsp\int_c^b f(t) \ud t$ diverge.

• Si $\dsp\int_a^b f$ converge, alors sa valeur ne dépend pas du choix de $c$, en effet dans ce cas tous les réels de l'intervalle $]a,b[$ conviennent .
• $\dsp\int_a^b f$ diverge signifie que l'une au moins des intégrales $\dsp\int_a^c f(t) \ud t$ ou $\dsp\int_c^b f(t) \ud t$ diverge.

Avec les hypothèses de la définition précédente, soit $F$ une primitive de $f$ sur $]a,b[$ et soit $c\in ]a,b[$.
Dire que l'intégrale $\dsp\int_a^c f$ existe équivaut à dire que $\dsp\lim_{x\to a^+}F(x)$ existe; et dans ce cas, on a $\dsp\int_a^c f = F(c)-\dsp\lim_{x\to a^+}F(x)$.
Dire que l'intégrale $\dsp\int_c^b f$ existe équivaut à dire que $\dsp\lim_{y\to b^-}F(y)$ existe; et dans ce cas, on a $\dsp\int_c^b f = \dsp\lim_{y\to b^-}F(y)-F(c)$.
Ainsi, dire que $\dsp\int_a^b f $ existe équivaut à dire que $F$ admet une limite en $a^+$ ET en $b^-$; et dans ce cas, on aura $$\dsp\int_a^b f(t)\ud t = \dsp\lim_{\substack{x\to a^+\\y\to b^-}}\big[F(t)\big]_x^y =\dsp\lim_{b^-}F-\dsp\lim_{a^+}F$$ que l'on notera parfois abusivement $\big[F(t)\big]_a^b$ (mais cette écriture n'est autorisée qu'après avoir justifié l'existence des deux limites).
On prendra garde à ne pas simplifier la définition! Par exemple, il ne faut pas confondre $\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}t\ud t$ (qui diverge!) avec $\dsp\lim_{x\to + \infty}\dsp\int_{-x}^x t\ud t$ (qui vaut $0$).

• Il résulte immédiatement de la proposition précédente que, si $f$ a une intégrale divergente sur $[a,b[$ et $g$ une intégrale convergente, alors l'intégrale de $f+g$ sera divergente.
  On ne peut cependant rien dire a priori de la somme de deux intégrales divergentes.
• On fera très attention à ne pas écrire $\dsp\int_a^b(f+g)=\dsp\int_a^b f +\dsp\int_a^b g$ avant d'avoir étudié la convergence de ces deux intégrales!
  Par exemple, l'écriture $$\underbrace{\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{\ud t}{t(t+1)}}_{\text{CV}}=\underbrace{\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{\ud t}{t}}_{\text{DV}} - \underbrace{\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{\ud t}{t+1}}_{\text{DV}}\text{ N'A AUCUN SENS!!!}$$ Comment faire alors?

On verra dans la partie suivante des méthode permettent de diagnostiquer rapidement la convergence de cette intégrale.

Dans le cas d'une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a,b]$ avec $-\infty\leq a < b < +\infty$ et à valeurs réelles positives, la fonction $x\mapsto \dsp\int_x^b f(t)\ud t$ est décroissante.
Elle admet donc une limite en $a^+$ ssi elle est majorée: on obtient donc un résultat tout à fait similaire. Pour cette raison, les théorèmes de comparaison qui vont suivre restent entièrement valables dans le cas où l'intervalle d'intégration est de la forme $]a,b]$.

Comme la nature d'une intégrale ne change pas si on multiplie la fonction par un scalaire, on peut, dans les hypothèses de ce corollaire, remplacer la phrase « $f$ et $g$ sont positives au voisinage de $b$ » par « $f$ et $g$ sont de signes constants au voisinage de $b$ »

La condition « de signe constant » est indispensable. c.f. exemple ci-après.

• On peut facilement adapter ce résultat au cas ou $I=[a,b[$ avec $b$ fini, en utilisant les fonctions de références $\dfrac{1}{(t-b)^\alpha}$
• On peur obtenir le 3\up{ème} cas en montrant que $xf(x)\tendvers{x}{\infty}\infty$.
• ...

En générale, on utilise IPP lorsque le calcul de la primitive de $\varphi = f'g$ est plus facile que celui de $fg'$. Ceci reste valable pour les intégrales impropres.
Ainsi il avoir le bon sens pour faire le choix de $f$ et $g$ i.e. il faut qu'on puisse déterminer la nature de $\dsp\int fg'$ facilement!
Dans l'exemple précédent, on aurait pu écrire: $$\forall X>1,\quad \int_1^X\dfrac{\sin(x)}{x}\ud x=\left[\sin(x)\ln(x)\right]_1^X-\int_1^X\cos(x)\ln(x)\ud x.$$ Un tel choix (bien que la formule est correcte!) ne permet pas de déterminer la nature de l'intégrale.

• Cet exemple montre encore qu'on peut avoir $\dsp\int_a^bf$ converge sans que $f$ admet une limite en $b$.
• En utilisant différentes méthodes, (c.f. Intégrales à paramètres ), on peut montrer que $$\int_0^\infty\sin(t^2)\ud t=\int_0^\infty \cos(t^2)\ud t =\dfrac{\sqrt{2\pi}}{4}.$$

On a une définition analogue dans le cas d'une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a,b]$ ou $]a,b[$.

La réciproque du théorème précédent est fausse.
Il existe en effet des intégrales qui sont convergentes sans être absolument convergentes (une telle intégrale est dite semi-convergente ). Le contre-exemple est classique et doit être connu: